Aux origines de l’analyse infinitésimale : un calcul certain aux principes incertains ?

Résumé

On attribue régulièrement aux mathématiques un statut privilégié, celui d’une science pouvant prétendre à une certitude qu’aucune autre forme de connaissance ne saurait atteindre. Pendant une longue période, cette certitude fut historiquement fondée sur la géométrie euclidienne et l’arithmétique des entiers naturels. Le développement de l’algèbre ordinaire, puis du calcul infinitésimal, firent toutefois apparaître des difficultés, voire des contradictions internes qui exigèrent de caractériser en termes nouveaux le caractère certain de ces algorithmes. Tout se passait comme si des résultats certains se trouvaient déduits de principes incertains, voire absurdes. Cet article se propose d’aborder la question de la certitude mathématique à l’aune de ses caractérisations historiques et de tenter de déterminer plus spécifiquement les modèles et les solutions qui se sont affrontés lors des débats et remises en question sur ce sujet, que la naissance du calcul infinitésimal a engendrés à la fin du xvii^e siècle.

Mots-clés :

• histoire des mathématiques,
• algèbre,
• alcul infinitésimal,
• démonstration mathématique,
• certitude géométrique,
• Spinoza,
• Antoine Arnauld,
• Pierre Nicole,
• Descartes,
• Varignon,
• Euclide,
• Archimède,
• Berkeley,
• Leibniz

Abstract

Mathematics is often granted a privileged status—that of a science capable of claiming a level of certainty unmatched by any other form of knowledge. For a long time, this certainty was grounded in Euclidean geometry and the arithmetic of natural numbers. However, the development of elementary algebra and later infinitesimal calculus exposed difficulties, even internal contradictions, which necessitated a redefinition of the basis for this certainty. It was as if certain results were being deduced from uncertain—even absurd—principles. This article therefore seeks to explore the question of mathematical certainty considering its historical characterizations, and to identify more specifically the models and solutions that came into conflict during the debates and controversies sparked by the emergence of infinitesimal calculus at the end of the 17th century.

Keywords:

• History of mathematics,
• algebra,
• infinitesimal calculus,
• mathematical demonstration,
• geometric certainty,
• Spinoza,
• Antoine Arnauld,
• Pierre Nicole,
• Descartes,
• Varignon,
• Euclid,
• Archimedes,
• Berkeley,
• Leibniz