Méthodes d’inférence exactes pour des processus autorégressifs : une approche fondée sur des tests induits

Résumé

Dans ce texte, nous considérons un modèle autorégressif d’ordre p (où p ≥ 1) gaussien, possiblement non stationnaire, avec un terme constant (tendance). Nous développons des méthodes d’inférence exactes pour les coefficients de ce modèle. Nous proposons une méthode qui permet de tester n’importe quelle hypothèse qui fixe le vecteur complet des coefficients autorégressifs du modèle puis, en « inversant » ces tests, de construire une région de confiance conjointe pour les coefficients du vecteur. Chaque hypothèse est testée en transformant d’abord les observations de façon à faire disparaître toute autocorrélation sous l’hypothèse nulle puis en testant si les observations transformées sont indépendantes. Pour ce faire, nous combinons plusieurs tests d’autocorrélation conçus pour détecter la dépendance aux délais 1, 2, ..., p. La méthode proposée permet de construire de façon simple les régions de confiance en résolvant 2p polynômes de second degré pour chaque coefficient (après un balayage des p – 1 coefficients restants du modèle et pour chaque configuration de ces p – 1 coefficients). Pour faire de l’inférence sur les coefficients individuels du modèle ou sur des transformations plus générales des coefficients autorégressifs, nous proposons d’utiliser une technique de projection. Nous appliquons la méthode développée à un modèle du P.I.B. réel tunisien.

Abstract

In this paper, we consider a gaussian autoregressive model of order p, which may be nonstationary and includes a drift term (where p ≥ 1). Exact inference methods are developed for the autoregressive coefficients. We consider first the problem of testing any hypothesis that fixes the vector of the autoregressive coefficients. This is done by first transforming the observations in a way that eliminates serial dependence under the null hypothesis, and then testing whether autocorrelation remains present in the transformed data. The latter task is accomplished by combining several independence tests against serial correlation at lags 1, 2, ..., p. A valid confidence region for the autoregressive coefficients may then be obtained by inverting the latter tests. We show that this confidence region can be built numerically on solving 2p polynomials of order 2, where in each case p – 1 autoregressive coefficients are fixed, and then using a grid search over the latter p – 1 coefficients. For inference on individual coefficients or more general transformations of the autoregressive coefficients, we propose the use of a projection approach. The proposed method is applied to a time series model of real G.D.P. in Tunisia.