Quelles connaissances et quels raisonnements en arithmétique favorisent l’entrée dans l’algèbre? Which arithmetic knowledge and reasoning facilitate students’ entry into algebra? ¿Cuáles conocimientos y cuáles razonamientos en aritmética favorecen la entrada al álgebra?

Résumé

Nous nous inscrivons dans le courant Early Algebra en soutenant que des connaissances et des raisonnements développés par les élèves en début de collège en France (11-12 ans) en arithmétique peuvent faciliter la transition de l’arithmétique à l’algèbre ou au contraire y faire obstacle. Nous définissons des critères pour analyser le rapport personnel des élèves à l’arithmétique en début de 5^e (12 ans), avant l’entrée dans l’algèbre. En nous plaçant dans le cadre de la théorie anthropologique, nous définissons ensuite des praxéologies (Chevallard, 1999) pour repérer la signification et le rôle que les élèves donnent à l’égalité, aux expressions numériques, aux propriétés des opérations, dont la distributivité, et au raisonnement analytique. Nous présentons l’évaluation de début de 5^e conçue dans ce cadre et analysons les réponses des élèves, puis ouvrons des perspectives sur les conditions d’un enseignement favorisant l’entrée dans l’algèbre.

Mots-clés :

• entrée dans l’algèbre,
• arithmétique,
• évaluation,
• égalité,
• expression algébrique

Abstract

Our research comes under the Early Algebra current, upholding that the arithmetic knowledge and reasoning developed by early middle-school students in France (11–12 years old) can facilitate, or conversely raise obstacles to, the transition from arithmetic to algebra. We define criteria for analyzing beginning cinquième (Canadian secondary two, 12 year old) students’ personal relationships to arithmetic before they start algebra. Drawing on anthropological theory, we then define praxeologies (Chevallard, 1999) for identifying the meaning and role that students assign to equality, numeric expressions, properties of operations including the distributive property, and analytical reasoning. We then present the beginning of cinquième evaluation designed in this context and examine the students’ answers, before exploring the instructional conditions that could facilitate students’ entry into algebra.

Keywords:

• entry into algebra,
• arithmetic,
• evaluation,
• equality,
• algebraic expression

Resumen

Nos adscribimos a la corriente Early Algebra sosteniendo que los conocimientos y los razonamientos desarrollados en aritmética por los alumnos que comienzan el nivel colegial en Francia (11 a 12 años) pueden facilitar la transición desde la aritmética al álgebra, o por el contrario, generar obstáculos a este paso. Definimos criterios para analizar la relación personal con la aritmética de los alumnos que comienzan el quinto grado (12 años), antes de entrar en el álgebra. Dentro del marco de la teoría antropológica, definimos a continuación praxeologías (Chevallard, 1999) para captar el significado y el rol que los alumnos entregan a la igualdad, a las expresiones numéricas, a las propiedades de las operaciones, entre ellas distributividad y al razonamiento analítico. Presentamos la evaluación concebida en este cuadro y aplicada al inicio del quinto grado y analizamos las respuestas de los alumnos, para después abrir las perspectivas acerca de las condiciones de una enseñanza que facilite la entrada al álgebra.

Palabras clave:

• entrada al álgebra,
• aritmética,
• evaluación,
• igualdad,
• expresión algebraica