Des pistes pour enseigner le scandale des nombres irrationnels Avenues for teaching the scandal of irrational numbers Pistas para enseñar el escándalo de los números irracionales

Résumé

Contrairement aux nombres rationnels pour lesquels de nombreuses études ont permis de mettre en lumière les difficultés que représente leur enseignement, peu de recherches nous guident quant à l’enseignement des nombres irrationnels. Afin de mieux en saisir les enjeux, nous nous sommes intéressés à l’évolution du concept pour ensuite établir un cadre grâce à ses dimensions historiques et culturelles. Selon une approche cognitiviste et avec l’expérimentation didactique comme méthode de recherche, nous avons dressé un portrait de la compréhension d’élèves de secondaire 3 (14-15 ans) à l’égard des différents ensembles de nombres, et plus particulièrement des nombres irrationnels, afin d’en arriver à identifier des caractéristiques d’un enseignement stratégique de cette notion. Les résultats permettent un avancement quant à la façon de concevoir l’enseignement du nombre irrationnel au secondaire et offrent différentes voies afin de poursuivre l’étude de ce concept d’un point de vue didactique.

Mots-clés :

• expérimentation didactique,
• nombre irrationnel,
• incommensurabilité,
• rapport,
• mesure

Abstract

In contrast with rational numbers, whose difficulties have been addressed by numerous studies from a pedagogical standpoint, little research offers guidance on the teaching of irrational numbers. To better grasp the issues involved, we examined the evolution of this concept and then established a framework drawing upon its historical and cultural dimensions. Based on a cognitivist approach and using didactic experimentation as our method of research, we sketched a portrait of secondary three (14-15 year old) students’ understanding of different sets of numbers, and more specifically irrational numbers, to be able to identify the characteristics of a strategic approach to teaching this concept. The results contribute to the knowledge on how to conceive the teaching of irrational numbers at the secondary level, and offer various avenues by which to pursue the study of this concept from a didactic standpoint.

Keywords:

• didactic experimentation,
• irrational number,
• incommensurability,
• relationship,
• measure

Resumen

Contrariamente a los números racionales por los cuales varios estudios han permitido poner de relieve las dificultades que representa enseñarlos, pocas investigaciones existen para orientarnos en cuanto a la enseñanza de los números irracionales. Con el objetivo de entender mejor los desafíos que esto representa, nos hemos interesados a la evolución del concepto para después establecer un marco gracias a sus dimensiones históricas y culturales. Según un enfoque cognitivista y con la experimentación didáctica como método de investigación, esbozamos el retrato de la comprensión de alumnos de tercer año de la secundaria (14-15 años) respecto a los diferentes conjuntos de números, en particular a los números irracionales, para lograr identificar características de una enseñanza estratégica de esta noción. Los resultados permiten un avance en cuanto a la manera de concebir la enseñanza del número irracional en la secundaria y proporcionan varias pistas para seguir con el estudio de este concepto de un punto de vista didáctico.

Palabras clave:

• experimentación didáctica,
• número irracional,
• inconmensurabilidad,
• relación,
• medida